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By Harm Pralle

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Example text

R werden die Basisrelationen und die Graphen Γi = (X, Φi ) die Basisgraphen genannt. Standardbasis, Basisrelationen und Basisgraphen beinhalten nat¨ urlich dieselben Informationen u ¨ber die Permutationsgruppe (G, X). Die Zentralisatoralgebra l¨ asst sich nun mittels Strukturkonstanten bez¨ uglich einer Basis darstellen. Wir tun dies bez¨ uglich der Standardbasis: r Ai · Aj = aijk Ak k=1 mit aijk ∈ C. Genauer gilt aijk ∈ N, weil die Standardbasis aus {0, 1}-Matrizen besteht. Wir interpretieren die Strukturkonstanten nun kombinatorisch.

Dann hat G die Orbitale 1 := {1, 1}G, a := {{1, 2}, {3, 4}} und b := {{1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}}. Die Menge der Relationen R := {1, a, b} bildet ein Assoziationsschema (R, X) mit X := {1, . . , 4}. Die Adjazenzalgebra KR hat die Standardbasis   0 1 0 0  1 0 0 0  σ1 := I4 , σa :=  , σb := 0 0 0 1  0 0 0 J2 J2 0 . 5 Es seien (X, R) ein endliches Assoziationsschema und K ein K¨ orper. (i) F¨ ur die Menge J := {r ∈ R | char(K) | |r ∗ |} gilt J(KR) ⊆ KJ. (ii) Falls char(K) | |r| f¨ ur alle r ∈ R, dann ist KR halbeinfach.

Standardbasis, Basisrelationen und Basisgraphen beinhalten nat¨ urlich dieselben Informationen u ¨ber die Permutationsgruppe (G, X). Die Zentralisatoralgebra l¨ asst sich nun mittels Strukturkonstanten bez¨ uglich einer Basis darstellen. Wir tun dies bez¨ uglich der Standardbasis: r Ai · Aj = aijk Ak k=1 mit aijk ∈ C. Genauer gilt aijk ∈ N, weil die Standardbasis aus {0, 1}-Matrizen besteht. Wir interpretieren die Strukturkonstanten nun kombinatorisch. Weil die Orbitale von G die Menge X × X partitionieren, ist der Graph Γ = (X, Φ) mit Φ := ri=1 Φi vollst¨andig, gerichtet und r-gef¨ arbt.

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Algebraische Kombinatorik by Harm Pralle


by Paul
4.5

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